9 无穷级数.md

# 无穷级数
## 注意
- 求和函数时，先导后积 $\int_a^x S'(x) \mathrm{d}x + S(a)$，其中 $a$ 取展开点
## 公式定理
### 几个重要级数
#### 等比级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^n + \cdots
\begin{cases}
= \frac{a}{1-q}, & |q| < 1 \cr
发散, & |q| \ge 1
\end{cases}
$$
#### p 级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} =
\begin{cases}
收敛, & p > 1 \cr
发散, & p \le 1
\end{cases}
$$
$$
\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^p \ln^q{n}} =
\begin{cases}
收敛, & p > 1 \cr
收敛, & p = 1, q > 1 \cr
发散, & p < 1 \cr
发散, & p = 1, q \le 1
\end{cases}
$$
### 比较判别法
### 常用幂级数展开式
### 幂级数展开常用小公式
$$
\sin{\frac{n\pi}{2}} =
\begin{cases}
0, & n = 2k \cr
(-1)^k, & n = 2k+1
\end{cases}
$$
$$
\cos{\frac{n\pi}{2}} =
\begin{cases}
(-1)^k, & n = 2k \cr
0, & n = 2k+1
\end{cases}
$$
### 傅里叶级数
设 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，则有傅里叶级数
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos{\frac{n\pi}{l} x} + b_n \sin{\frac{n\pi}{l} x})
$$
其中
$$
\begin{cases}
a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos{\frac{n\pi}{l} x} \mathrm{d}x, & n = 0, 1, 2, \cdots \cr
b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin{\frac{n\pi}{l} x} \mathrm{d}x, & n = 1, 2, 3, \cdots
\end{cases}
$$